Tid: torsdag 19/11 kl 10-12 eller 13-15 eller fredag 20/11 kl 13-15.

Alla uppgifter finns i Kapitel 3.3-6 i Studiematerialet.

Dig XXX syftar på studiematerialets digitala uppgifter.

3.71, 3.72, 3.74, 3.73, Dig 3.6.1-1, Dig 3.6.1-2, Dig 3.6.1-3, 3.146, 3.150, 3.156, 3.158, 3.83, 3.84, 3.85, Dig 3.4.1-3, Dig 3.4.2-3, Dig 3.4.2-4, 3.89, 3.107, 3.112, 3.122, 3.121, 3.125, 3.98, Dig 3.4.3-2, Dig 3.4.3-3.

Läs i Definition 5.1 (definitionen på s.135) vad som menas med att två s.v., $LaTeX: \xi$ ₁ och $LaTeX: \xi$ ₂, är oberoende och observera att det bara är ett specialfall av definitionen av oberoende händelser från Kapitel 2. I vår kurs kommer det att räcka med en intuitiv tolkning av oberoende: om de två s.v. $LaTeX: \xi$ ₁ och $LaTeX: \xi$ ₂'inte påverkar varandra'' är de oberoende.
Gör uppgift 3.71 (tre konstruktioner).
Ofta är man intresserad av en linjärkombination av flera s.v., summan och medelvärdet $LaTeX: \bar{\xi}=\frac{1}{n}(\xi_1+\xi_2+\ldots+\xi_n)$ är exempel på två sådana. Att beräkna fördelningen för linjärkombinationen kan vara ganska knepigt (utom för vissa fördelningar som t.ex. normalfördelningen) men att beräkna väntevärde och varians är mycket lättare. Formler ges i Sats 5.1 (5A) och i en generaliserad form i Sats 5.2 (5B). Resultaten i Sats 5.1 (5A) är viktiga, fundera över om de verkar rimliga och lär dig att hantera dem!
Gör uppgifterna 3.72 (linjkomb) och 3.74 (vikt på bro).
Speciellt viktigt är det att ni enkelt klarar att beräkna väntevärde och varians för medelvärdet $LaTeX: \bar{\xi}$ , se Exempel 5.5. Visserligen står resultatet i Sats 5.3 (5C) och det är naturligtvis bra att kunna, men lika viktigt är det att behärska räkningarna som leder dit!
Gör uppgift 3.73 (mjölkpaket).
Alla som sysslar med mätningar av något slag måste känna till begreppen systematiskt fel och slumpfel, de beskrivs på s.165-166 (s.143-144). Observera att resultaten från Sats 5.3 (5C) är användbara när man ska fundera över hur många mätningar man bör göra för att mätningarnas medelvärde ska uppnå en viss precision. Läs Exempel 5.8 (5.6). I studiematerialet är det aktuella avsnittet 3.6.1 ''Mätsituationen'' på s.76.
Gör uppgifterna Dig 3.6.1-(1-3) samt 3.146 (avståndsmätningar).
Lika viktigt är det att känna till felfortplantningslagarna när man gör mätningar. Läs om när man kan behöva tillgripa dem på s.170 (s.148). Sats 5.4 (5D) är själva felfortplantningslagen då man har en uppmätt variabel, beviset på nästa sida är ett bra exempel på hur räknereglerna för väntevärden och varianser kan användas. Studera gärna Exempel 5.12 (5.10).
Gör uppgift 3.150.
Två intressanta V/L-tillämpningar på felfortplantningslagarna ges i uppgifterna 3.156 (byggnadsgrundyta) och 3.158 (polygonpunkt).
Normalfördelningen: I boken finns den beskriven i kapitel 4.2.4 samt i kapitel 6. I kapitel 4.2.4 ges enkla egenskaper hos normalfördelningen, t.ex. hur sannolikheter beräknas. Kapitel 6 börjar med en kort repetition och sedan behandlas ett antal egenskaper hos normalfördelningen som gör den så användbar. Observera att man inte kan beräkna sannolikheter i normalfördelningen analytiskt utan måste använda tabell (eller t.ex. Matlab). Studera Exempel 4.8 (4.8) på s.132 (s.117).
Gör uppgift 3.83 och skissa gärna normalfördelningen och markera de sökta areorna.
Tabellen i boken kan endast användas direkt om normalfördelningen är standardiserad, d.v.s. har ett väntevärde $LaTeX: \mu$ som är 0 och en standardavvikelse $LaTeX: \sigma$ som är 1, dvs . Lyckligtvis kan alla normalfördelningar, $LaTeX: N(\mu, \sigma)$ , överföras till en , se Sats 4.2 (4B) på s.133 (s.118) och efterföljande Exempel 4.10 (4.9).
Gör uppgift 3.85(a)-(c) (standardisering).
I fortsättningen av kursen kommer vi ofta att vara intresserade av hur stor sannolikheten är att man hamnar i normalfördelningens ''svansar''. Då är kvantilbegreppet mycket användbart: Om $LaTeX: \xi \in N(0, 1)$ så är $LaTeX: \lambda_{\alpha}$ den punkt på x-axeln som uppfyller att $LaTeX: P(\xi\geq\lambda_{\alpha})=\alpha$ . I tabell på s.396 (s.310) i boken finns $LaTeX: \lambda_{\alpha}$ tabellerad för olika värden på $LaTeX: \alpha$ .
Gör uppgift 3.84 och skissa gärna figurer typ den som finns på s.396 (s.310). Gör även 3.85(d).
Träna mer på normalfördelningen genom att göra Dig 3.4.1-3, Dig 3.4.2-3 och Dig 3.4.2-4 samt 3.89 (foder i säckar).
Ett resultat som gör normalfördelningen så användbar är att linjärkombinationer av oberoende normalfördelade s.v. också är normalfördelade! Ofta är man intresserad av linjärkombinationerna $LaTeX: \sum_{i=1}^{n}\xi_i$ (summan av n s.v.) och $LaTeX: \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\xi_i$ (medelvärdet av n s.v.). Studera Exempel 6.5 och Exempel 6.6 och observera att beräkningarna av väntevärden och varians sker m.h.a. räknereglerna från Kapitel 5. Det nya är att vi nu kan säga att fördelningen för summan eller medelvärdet är normalfördelning.
Gör uppgifterna 3.107 (betongstyrka) och 3.112 (vindkraftverk)}.
Det viktigaste motivet till att vi studerar normalfördelningen så noga ges i Kapitel 6.4 (6.3): summor (och medelvärdet) av oberoende, likafördelade s.v. är approximativt normalfördelade, och detta oavsett vilken fördelning de enskilda s.v. har! Satsen som beskriver detta, centrala gränsvärdessatsen, står i Sats 6.6 (6E) på s.191 (s.168) men lättast är den nog att förstå så som den beskrivs överst på s.192 (s.169).
Gör uppgifterna 3.122 (distr.system), 3.121 (gem) och 3.125 (bostadskö).
Lognormalfördelningen är en fördelning som ganska ofta dyker upp i olika V- och L-tillämpningar (se t.ex. i Matlabuppgifterna). Den beskrivs inte i boken utan på en separat stencil (FMSF50_extraford_2017.pdf) som kan nås via kurshemsidan. Den s.v. $LaTeX: \eta$ är lognormalfördelad om $LaTeX: \ln(\eta) \in N(\mu, \sigma)$ .
Gör uppgift 3.98 (snö) samt Dig 3.4.3-2 och Dig 3.4.3-3 (försäljningspris).

Du kan nu börja på Färdighetsprov 2 - Skattningar och konfidensintervall.

Glöm inte att göra klart Färdighetsprov 1 - Sannolikhetsteori och fördelningar!