Lektion 2 - Funktioner och gränsvärden (6/9)

I den här lektionen ska vi bekanta oss med de objekt vi ska analysera under hela kursen, funktioner av flera variabler. Vi skall studera vilka olika typer av sådana funktioner det finns, och träna på att visualisera dessa. För detta kommer du att ha stor nytta av det du gjorde i Lektion 1.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Lycka till!

Översikt

  • Videor: Funktioner del 1-15 (totaltid c:a 135 min) i Spellista Flerdimensionell analys (i mån av tid även del 16-17).
  • Kursbok: Kap 3.1-3.4
  • Uppgifter: 3.1, 2, 3, 5, 7abc, 10, 11 (jämför boken sid 40-41), 12abcdgh, 13abc, 17bcdeg, 22abcd

Lektion

1. Vi börjar med en översikt om vad som menas med en funktion av flera variabler:

Läs igenom läroboken kapitel 3.1, sid. 55-59. Det mesta här har redan tagits upp i videon, så det går bra att bara ögna igenom. Känner du dock att du vill ha ytterligare exempel så studera Exempel 3.1.

Lös uppgift 3.1, 2, 3. Uppgift 1 är en bra repetition av hur definitionsmängderna för ett antal funktioner från endim ser ut. Har du glömt dessa, slå gärna upp i endimboken! Om du inte riktigt vet hur du ska angripa en uppgift av denna typ så finns det en lösning av  3.1a i övningsboken. I uppgift 2c och 3 är det lämpligt att utnyttja rotationssymmetrin som nämns i videon. Vill du veta mer om rotationssymmetri så hittar du det på sidan 33 i läroboken.

2. Ett sätt att visualisera (vissa) funktioner av flera variabler är nivåkurvor och nivåytor. Titta igenom följande två videor:

Se till att du efter videorna är på det klara med vilka typer av funktioner som kan visualiseras med hjälp av nivåkurvor respektive nivåytor. Känner du att du behöver fler exempel så hittar du sådana i läroboken kapitel 3.1, sid. 59-64.

Lös nu uppgift 3.5, 7abc, 10, 11. I både uppgift 10 och 11 utnyttjar du med fördel rotationssymmetri för att rita nivåytorna. Om du fastnar på uppgift 11b och c, så kan det vara lämpligt att repetera hyperboloidens ekvation; se Exempel 2.20 och 2.21 på s. 40-41 i läroboken.  

3. Vi ska nu gå över till att studera s.k. vektorvärda funktioner. Innan vi gör det kan det dock vara bra att sammanfatta de funktionstyper vi har studerat hittills. Se därför följande video som en slags sammanfattning över vad vi har gjort fram tills nu:

Vi är nu redo att gå in på vektorvärda funktioner. Titta igenom nedanstående 4 videor. Glöm inte att ta en liten paus/bensträckare halvvägs!

Motsvarande avsnitt i läroboken är kapitel 3.2, sid. 64-71. Det räcker i princip om du ögnar igenom det, eftersom nästan alla exempel mer eller behandlats i videorna ovan. (Undantaget är Exempel 3.13. Fundera gärna på varför parametriseringen ger upphov till en s.k. torus.) 

Lös sedan uppgift 3.12abcdgh, 13abc.

I mån av tid: Koordinatbyte och vektorfält kommer vi att återkomma till senare i kursen, men har du tid över skadar det inte att bekanta sig med dessa bergrepp redan nu.

4. Titta igenom följande video om sammansättning av funktioner:

Jag tror att du efter videon kommer att ha ganska klart för dig vad sammansättning går ut på, då det liknar det vi tidigare gjort i endim. Men känner du att du vill ha mer "kött på benen" så hittar du detta i kapitel 3.3. Inga övningsuppgifter är planerade för funktionssammansättning, det viktiga är att du känner till begreppet och vet vad det handlar om.

5. Ett av de besvärligaste begreppen i endim är gränsvärden. Dessa blir än mer besvärliga i flerdim, då vi har oändligt många olika sätt att närma oss en given punkt. Som tur är så är gränsvärden inte en jättestor del av flerdim-kursen. Följande 5 videor beskriver i princip det du behöver kunna:

Läs igenom kapitel 3.4, sid. 80-89. Fokusera på exemplen!

Lös  uppgift 3.17bcdeg. Uppgift e) är lite svårare. Notera att det finns en fullständig lösning av denna i övningshäftet. Försök dock först att lösa den själv!

6. Precis som i endim, så kan vi prata om kontinuitet även för flerdimensionella funktioner. Definitionen kommer säkerligen vara bekant:

Läs läroboken kapitel 3.4, sid. 89-92. Studera särskilt Exempel 3.28.

Lös därefter uppgift 3.22abcd. I b-uppgiften är det lämpligare med ett annat variabelbyte än till polära koordinater. Vilket skulle det kunna vara?

 

Du är nu klar med Lektion 2!

Efterarbete

  • Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
  • Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!