Lektion 14 - Potential (18/10)

I denna sista lektion skall vi avsluta vårt studium av kurvintegraler genom att introducera begreppen potential och potentialfält.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Översikt

Videor: Vektoranalys del 6-7 (totaltid c:a 15 min) i Spellista Flerdimensionell analys.
Kursbok: Kap 9.3
Uppgifter: 9.29, 30, 31, 32, 35, 36, 38, 40, 45

Lektion

1. När vi arbetade med integraler i endim hade vi tillgång till en insättningsformel för att beräkna våra integraler. Vi behövde bara bestämma en primitiv funktion till integranden, och sedan sätta in integrationsgränserna i denna och subtrahera. För vissa typer av vektorfält, s.k. potentialfält (eller konservativa fält), har vi en motsvarighet till denna insättningsformel för kurvintegraler. Vi vill nu, i stället för en primitiv funktion, hitta en s.k. potentialfunktion till fältet.

Läs kapitel 9.3 (s. 302-308). Förutom att gå igenom exemplen, se till att du har klart för dig hur definitionen av potentialfält (Definition 9.1) samt "insättningsformeln" (Sats 9.3) ser ut. På sidorna 307-308 behandlas naturligt förekommande potentialfält som t.ex. tyngdkraftsfält.

Lös nu uppgifterna 9.29, 30, 31, 32.

När vi har ställt upp vårt system $LaTeX: U'_x=P,\:U'_y=Q$ $U'_x=P,\:U'_y=Q$ , så spelar det principiellt ingen roll om vi först beräknar primitiv med avseende på $x$ och sedan deriverar med avseende på $y$ , eller gör tvärtom. Notera dock att det i praktiken ibland blir mycket enklare räkningar i en av ordningarna.
I uppgift 9.32 stöter vi på ytterligare en synonym till potentialfält/konservativt fält. Den s.k. differentialformen $LaTeX: P\:dx+Q\:dy$ $P\:dx+Q\:dy$ sägas vara exakt precis då $(P,Q)$ är ett potentialfält/konservativt fält.

2. Vi ska nu studera hur potentialfält är kopplade till det vi behandlade förra lektionen - Greens formel.

Innan läsningen i boken - en kort introduktion:

I förra lektionen lade vi i många av uppgifterna till kurvor för att omsluta ett område, så att vi sedan kunde använda Greens formel. I flera av de uppgifter vi då löste visade det sig t.o.m. gälla att LaTeX: Q'_x=P'_y $Q'_x=P'_y$ , vilket innebar att integranden i dubbelintegralen i Greens formel blev LaTeX: 0 $0$ , vilket i sin tur innebar att hela dubbelintegralen blev $0$ . (Gå gärna tillbaka och titta på de uppgifter du löste i Lektion 13; uppgift 9.15 är ett exempel på just en sådan typ av uppgift.)

I de fall då vi hade LaTeX: Q'_x=P'_y så hoppas jag att du noterade att själva "nettoeffekten" av det hela till slut blev att kurvintegralen längs den ursprungliga kurvan blev densamma som kurvintegralen längs de kurvor som du själv lade till. Med blev kurvintegralen alltså oberoende av den väg vi valde mellan start- och slutpunkt. (Detta förutsatt såklart att de kurvor vi lade till inte gjorde att vi omslöt ett område LaTeX: D $D$ med "förbjudna punkter", punkter där vårt vektorfält inte var definierat.)

Denna egenskap, att kurvintegraler blir oberoende av väg, är faktiskt densamma som gäller för potentialfält; från "insättningsformeln" följer det ju att kurvintegralen i ett potentialfält endast beror på start- och slutpunkten. Det borde således finnas en koppling mellan egenskapen LaTeX: Q'_x=P'_y och att vi har ett potentialfält, och denna koppling visar sig vara följande:

$LaTeX: (P,Q) \text{ är ett potentialfält } \Longrightarrow \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}.$ $(P,Q) \text{ är ett potentialfält } \Longrightarrow \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}.$

(Detta är Sats 9.4 på sidan 309 i läroboken.)

Med denna inledande bakgrund, läs nu igenom kapitel 9.3 (s. 309-313).

Observera speciellt att omvändningen till implikationen ovan ej är sann! Lös uppgift 9.35. Notera hur det resultat du får visar just detta.

(Omvändningen ovan blir faktiskt sann om vi har ett vektorfält utan "förbjudna punkter" som bildar "hål" i xy-planet, d.v.s. om vi har ett vektorfält på ett s.k. enkelt sammanhängande område - se sidan 312 i läroboken.)

Lös sedan uppgift 9.36. Här har du faktiskt redan löst uppgift a) i 9.35, så det återstår bara b).

I b)-uppgiften behöver du anpassa din strategi beroende på om du misstänker att du har ett potentialfält eller ej. Om du misstänker att det är ett potentialfält - visa detta genom att bestämma en potentialfunktion, om du misstänker att det inte är ett potentialfält - försöka att visa detta genom att, som du gjorde i uppgift 9.35, visa att fältet inte är "vägoberoende". (Det här med att "misstänka" vad som är sant är givetvis inte helt lätt. I praktiken blir det att du får "gissa" vad du tror ska gälla. Om du inte kommer någonstans utifrån din gissning, byt gissning!)

3. I den här avslutande punkten tränar vi på att använda insättningsformeln (Sats 9.3).

Lös uppgifterna 9.38, 40, 45 genom att först hitta en potentialfunktion, och sedan använda insättningsformeln.

Du är nu klar med Lektion 14 (och hela kursen)!

Efterarbete

Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!