Lektion 13 - Greens formel (14/10)

I denna lektion ska vi fortsätta med kurvintegraler i vektorfält, och introducera ett nytt verktyg för att beräkna sådana - Greens formel. Vi ska även titta på hur Greens formel kan tillämpas för att beräkna arean av ett område i planet.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Översikt

Videor: Vektoranalys del 3-5 (totaltid c:a 35 min) i Spellista Flerdimensionell analys.
Kursbok: Kap 9.2
Uppgifter: 9.8, 13, 15, 17, 23

Lektion

1. Greens formel är ett nytt verktyg som kan hjälpa oss att beräkna kurvintegraler då kurvan $LaTeX: \gamma$ $\gamma$ vi vill integrera över utgör randen till ett område LaTeX: D $D$ i LaTeX: xy $xy$ -planet. Titta igenom följande två videor:

Notera hur vår kurva $LaTeX: \gamma$ $\gamma$ i den andra videon inte är rand till ett område, så för att använda Greens formel måste vi då själv lägga till en kurva $LaTeX: \gamma_1$ $\gamma_1$ . Tanken är att vi, även om vi får göra en del extra beräkningar (en dubbelintegral och en ny kurvintegral), ändå ska få ett enklare problem jämfört med om vi hade försökt beräkna den ursprungliga kurvintegralen direkt.

Läs nu kapitel 9.2 (s. 290-294). Se till så att du har koll på hur integranden i Greens formel ser ut, då du kommer att använda denna sats åtskilliga gånger. Notera även Ammärkning 9.2 på sidan 292; det går utmärkt att använda Greens formel även då randen är negativt orienterad, d.v.s. då det inneslutna området ligger direkt till höger om kurvan, men vi får då "minus dubbelintegralen" i stället.

Lös sedan uppgifterna 9.8, 13.

I båda uppgifterna, prova först att lösa uppgifterna på "vanligt sätt" genom att parametrisera kurvan. Du kommer då att se att uppgift 9.8 då blir helt hopplös att lösa. Uppgift 9.13 går att lösa på vanligt sätt (prova gärna det), men leder till lite trixiga räkningar.
Lös sedan de båda uppgifterna med Greens formel. I 9.8 kan du använda Greens formel direkt, medan du i 9.13 själv måste sluta området först. När du sluter området, försök göra det med en kurva som ger en enkel parametrisering och där integranden blir så enkel som möjligt.

2. För att använda Greens formel måste vårt vektorfält LaTeX: (P,Q) $(P,Q)$ vara definierat (och kontinuerligt deriverbart) i hela området LaTeX: D $D$ , inklusive rand. Detta kan ställa till det för oss . Eftersom vi alltid måste se till att vårt vektorfält är definierat i hela det område vi innesluter, innebär det ibland begränsningar av vilka inneslutningar som är möjliga:

Läs kapitel 9.2 (s. 294-298). Här finns flera nyttiga exempel. Notera speciellt diskussionen i Exempel 9.7 om vilka inneslutningar som är möjliga. Studera även Exempel 9.9 extra noga. Här innesluter vi ett område med två separata randkurvor (vilket är fullt tillåtet).

Lös uppgifterna 9.15, 17.

I uppgift 9.15 - fundera på i vilka punkter vektorfältet ej är definierat - dessa punkter måste du undvika då du sluter kurvan. Hur kan kurvan slutas på lämpligt sätt som gör beräkningarna längs de tillagda kurvorna enkla att beräkna? (Det finns ett lösningsförslag om du fastnar.)

Uppgift 9.17 är klurig; här måste du helt undvika origo. Titta på de funktioner som ska integreras. Vilken typ av kurva borde göra integranderna väldigt enkla att beräkna? Kan vi på något sätt komplettera med en sådan kurva och samtidigt undvika origo?

3. Tillämpning (beräkning av area): En tillämpning av Greens formel är att beräkna arean av ett område LaTeX: D $D$ i planet.

Arean av ett område kan, som vi tidigare sett, beräknas genom att beräkna dubbelintegralen av den konstanta funktionen LaTeX: 1 $1$ över området. Problemet är att denna dubbelintegral i vissa fall är väldigt svår att beräkna.

Idén är nu följande: Konstruera ett vektorfält LaTeX: (P,Q) $(P,Q)$ , så att integranden

$LaTeX: \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$

i Greens formel blir precis lika med LaTeX: 1 $1$ . Då kan arean, på grund av Greens formel, i stället beräknas genom att på vanligt sätt (d.v.s. med parametrisering) beräkna kurvintegralen längs randen.

Läs igenom kapitel 9.2 (s. 299-300). Ge exempel på tre olika vektorfält som ger att $LaTeX: \tfrac{\partial Q}{\partial x} - \tfrac{\partial P}{\partial y} = 1$ $\tfrac{\partial Q}{\partial x} - \tfrac{\partial P}{\partial y} = 1$ , och som vi således kan utnyttja för att beräkna arean.

Lös slutligen uppgift 9.23. För att skissera kurvan i a)-delen: Derivera funktionerna LaTeX: x(t) $x(t)$ och LaTeX: y(t) $y(t)$ i parametriseringen och teckenstudera derivatorna för att ta reda på hur dessa funktioner uppför sig i det aktuella intervallet.

Du är nu klar med Lektion 13!

Efterarbete

Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!