Lektion 12 - Integralanvändning och kurvintegral (11/10)

I den här lektionen skall vi studera tillämpningar av dubbel- och trippelintegral. Det vi kommer att fokusera på är beräkning av volym, massa, masscentrum samt tröghetsmoment.

I slutet kommer vi dessutom att introducera ett helt nytt begrepp, kurvintegraler i vektorfält, något som vi kommer att studera mer djupgående under kursens två avslutande lektioner.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Översikt

• Videor: Integraler tillämpningar del 1-7 samt Vektoranalys del 1-2 (totaltid c:a 100 min) i Spellista Flerdimensionell analys.
• Kursbok: Kap 8.1-8.2, 9.1
• Uppgifter: 8.2, 4, 5, 14, 16, 23; 9.2, 3, 5

Lektion

1. Volym:  Den första integraltillämpning vi tittar på är volymberäkning.

Läs kapitel 8.1. Här finns tre större exempel. De första två, Exempel 8.1 och 8.2, är egentligen samma exempel, men löses på två olika sätt. Exempel 8.3 är lite mer avancerat. I samtliga exempel, notera speciellt hur man plockar fram området $D$ för dubbelintegralen som projektionen (skuggbilden) på det koordinatplan där dubbelintegralen utförs.

Lös uppgifterna 8.2, 4, 5. Uppgift 8.5 är lite klurigare, men det finns en fullständig lösning i övningshäftet om du fastnar. 

2. Massa och masscentrum: Vi går nu vidare till beräkning av massa och masscentrum (tyngdpunkt). Titta igenom följande fyra videor, som varvar teoretiska genomgångar med konkreta räkneexempel:

Motsvarande läsavsnitt i kursboken är kapitel 8.2 (s. 268-272).  Här hittar du fler konkreta räkneexempel. Vad det gäller formlerna för massa och masscentrum/tyngdpunkt, formel (8.6) respektive (8.7), så behöver du inte härleda dessa varje gång du använder dem. De går bra att lära sig utantill och använda som formler. (Däremot ska du, om det speciellt efterfrågas, känna till hur man härleder dem.)  

Lös uppgifterna 8.14, 16.

Klicka på tipsknappen om du fastnar (försök dock utan tips först).

Tips

• Uppgift 8.14 kan du lösa med eller utan att lämpligt variabelbyte i trippelintegralen. Vilket variabelbyte kan vara lämpligt med tanke på den kropp vi integrerar över?
• Om du i 8.14 väljer att inte göra ett variabelbyte kan det leda till rätt "trixiga" primitiver att bestämma. Det är dock fullt möjligt. Med en kombination av variabelbyten och partialintegration för enkelintegraler är även denna väg framkomlig.
• Om du i 8.14 väljer det lämpliga variabelbytet i trippelintegralen, så kan det hända att du får en trigonometrisk funktion upphöjt till $3$ att hitta primitiv till. Hur hanterar man den? Kan man utnyttja "trigonometriska ettan" på något sätt?
• I uppgift 8.16 kan du av symmetriskäl direkt säga vad en av koordinaterna för masscentrum blir. Vilken, och vad blir koordinaten? Det återstår nu att bestämma de andra två koordinaterna med hjälp av integralmetoden. Men det räcker faktiskt att bestämma endast en av de återstående. Kan du åberopa symmetriskäl ytterligare en gång?
• I formeln för masscentrum ska man även bestämma massan av kroppen. I 8.16, där vi har en homogen kropp, och det finns en färdig formel för volymen av ett klot, så kan du göra denna del utan att integrera.
• För själva integralberäkningen i 8.16 underlättar ett lämpligt variabelbyte i trippelintegralen. Vilket?

3. Tröghetsmoment: Nästa tillämpning vi ska studera är beräkning av tröghetsmoment. I den första videon nedan beskriver jag själva begreppet tröghetsmoment, samt härleder en formel för beräkning (formeln går bra att lära sig utantill). I den andra videon ger jag ett konkret räkneexempel.

Läs kapitel 8.2 (s. 272-273). Fokusera på Exempel 8.7.

Lös sedan uppgift 8.23. Se till att du har alla verktyg från endim för att hitta primitiver till enkelintegraler mentalt redo - speciellt variabelbyte och partialintegration.

4. Kurvintegral: Vi avslutar denna lektion genom att introducera ett helt nytt begrepp - kurvintegraler i vektorfält - ett begrepp vi kommer att fortsätta studera under kursens två sista lektioner. Den första videon nedan är (en ganska lång) introduktion, den andra innehåller ett räkneexempel.

Läs kapitel 9.1. Detta delkapitel får du nog läsa ganska noga, då det utgör grunden till allt vi kommer att göra i nästkommande två lektioner.

Lös uppgifterna 9.2, 3, 5.

I uppgift 9.5 går det att bestämma arbetet genom att ställa upp och beräkna en kurvintegral. Men notera att man, i just denna uppgift, även kan sluta sig till vad arbetet måste bli genom att resonera rent fysikaliskt. Hur? (Snegla i lösningen om du vill veta svaret. )

 

Du är nu klar med Lektion 12!

Efterarbete

• Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
• Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!