Lektion 11 - Trippelintegraler (7/10)

Nu ska vi gå över till att studera trippelintegraler - integraler av funktioner av tre variabler. I stället för att, som för dubbelintegraler, integrera över ett område LaTeX: D i LaTeX: xy -planet, kommer vi nu att integrera över en kropp LaTeX: K i rummet LaTeX: xyz .

I denna lektion tittar vi på hur man beräknar trippelintegraler, samt hur variabelbyte i dessa fungerar. Vi avslutar lektionen med att tillfälligt gå tillbaka till dubbelintegraler, för att se på begreppet Riemannsumma.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Översikt

Videor: Integralkalkyl del 15-20 (totaltid c:a 60 min) i Spellista Flerdimensionell analys.
Kursbok: Kap 7.5-7.6
Uppgifter: 7.42, 44, 45, 50, 53

Lektion

1. Trippelintegraler: I fallet med dubbelintegraler är det relativt lätt att geometriskt se vad vi egentligen beräknar - en dubbelintegral motsvarar ju volymen (med tecken) under funktionsytan. För funktioner av tre variabler kan vi inte på samma sätt geometriskt åskådliggöra själva grafen, så det är lite svårare att "få grepp om" vad en trippelintegral egentligen innebär. Målet med den här första videon är att göra detta lite klarare:

Vi övergår nu till beräkning av trippelintegraler. Det enklaste fallet är då vi integrerar över en kropp i form av ett rätblock (vilket motsvarar rektangelfallet för dubbelintegraler):

Notera att det för trippelintegraler finns två alternativa sätt att ställa upp integralen - antingen som en "dubbelintegral av en enkelintegral", dvs. med en enkelintegral innerst, eller som en "enkelintegral av en dubbelintegral" där vi har en dubbelintegral innerst.

Rent principiellt spelar det ingen roll vilken uppställning du väljer. Eftersom dubbelintegraler beräknas med hjälp av två enkelintegraler, så blir det till slut i praktiken tre enkelintegraler som ska beräknas hur man än gör. I praktiken, beroende på hur integranden och den kropp man integrerar över ser ut, kan det dock vara så att den ena uppställningen ger mycket lättare räkningar än den andra. Vi måste därför behärska båda sätten att ställa upp trippelintegraler. Dessutom gäller det, precis som för dubbelintegraler, att den ordning i vilken man hanterar de tre variablerna är viktig. Ibland kan det bli hopplösa räkningar om man tar variablerna i "fel" ordning.

Lös nu uppgift 7.42. För jämförelse, prova gärna att ställa upp och beräkna den på båda de beskrivna sätten ovan.

Om vi integrerar över ett rätblock, och integranden kan uttryckas som en produkt

$LaTeX: f\left(x,y,z\right)=g_1\left(x\right)\cdot g_2\left(y\right)\cdot g_3\left(z\right),$

så kan man skriva trippelintegralen som en produkt av tre enkelintegraler, vilket illustreras i följande video (jämför med motsvarande fall för dubbelintegraler):

Integralen i uppgift 7.42 uppfyller kraven ovan. Lös denna uppgift igen, denna gång med hjälp av metoden i videon.

2. Vi lämnar nu rätblock, och övergår till en mer allmän kropp LaTeX: K :

Lös uppgift 7.44. Lite tips:

När man löser trippelintegraler är det extra viktigt att man allra först ritar ut kroppen man integrerar över!
Prova först att lösa 7.44 med en enkelintegral innerst. Vilken variabel verkar lämplig att börja med? Notera att integrationsområdet för den yttre dubbelintegralen blir "skuggbilden" av kroppen på det koordinatplan där vi utför dubbelintegralen.
Lös slutligen uppgift 7.44 igen, denna gång uppställd med en dubbelintegral innerst.

Motsvarande läsavsnitt i läroboken till lektionens tre första punkter är kapitel 7.6 (s.254-256). Det räcker om du ögnar igenom dessa sidor, eftersom allting redan är behandlat ovan. (Exempel 7.19 och exemplet i videorna ovan är t.om. identiska.)

3. Variabelbyte: Precis som för dubbelintegraler så kan man, när integranden/integrationsområdet är "besvärligt" att hantera, försöka med ett variabelbyte. I det tredimensionella fallet gör man på följande sätt:

Det för oss vanligaste variabelbytet kommer, precis som i videon, att vara rymdpolära koordinater. Detta byte är ofta lämpligt då kroppen vi ska integrera över är en del av ett klot. Som du ser blir funktionaldeterminanten något besvärligare än för vanliga polära koordinater - vi får $LaTeX: r^2\sin\theta$ . Eftersom vi upprepat kommer att byta till rymdpolära koordinater behöver du inte räkna ut denna funktionaldeterminant varje gång du använder den - det är tillåtet att lära sig den utantill och använda den som en färdig "formel".

Läs kapitel 7.6 (s.257-258) i läroboken. Notera att Exempel 7.20 redan är behandlat i videon ovan. Läs speciellt Exempel 7.21, som visar hur man kan hantera en generaliserad trippelintegral.

Lös nu uppgifterna 7.45, 50, 53. Glöm inte att rita ut den kropp du integrerar över!

4. Riemannsumma: Avslutningsvis så ska vi tillfälligt gå tillbaka till dubbelintegraler, och bekanta oss med Riemannsummor, ett begrepp som förhoppningsvis klingar bekant från dina endim-studier. Till detta avsnitt finns inga övningsproblem - det handlar bara om att bekanta sig med begreppet.

Läs de två sidorna som utgör kapitel 7.5. Se till, speciellt genom att jämföra de båda figurerna för endim- respektive flerdim-fallet, att du får en känsla för vad detta begrepp går ut på.

Du är nu klar med Lektion 11!

Efterarbete

Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!