Lektion 10 - Variabelbyte och generaliserade integraler (4/10)

I denna andra lektion om integraler kommer vi att behandla variabelbyte i integraler samt generaliserade integraler.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Översikt

Videor: Integralkalkyl del 7-14 (totaltid c:a 90 min) i Spellista Flerdimensionell analys.
Kursbok: Kap 7.3-7.4
Uppgifter: 7.21, 23, 24, 25, 26, 27, 31, 32

Lektion

1. Som du lade märke till i den föregående lektionen så är det i princip två saker som kan "ställa till det" när det gäller att beräkna dubbelintegraler - antingen kan det vara svårt att hitta en primitiv till integranden, eller så är integrationsområdet så pass "trixigt" att det leder till besvärliga räkningar. Ett sätt att försöka råda bot på detta är att byta variabler. Det visar sig att ett variabelbyte förändrar både integranden och integrationsområdet, förhoppningsvis till det bättre!

Här behöver du nog en hel del "input". Luta dig tillbaka och titta på följande 5 videor:

Läs kapitel 7.3 i läroboken. Det mesta har redan tagits upp i videorna ovan, men du hittar några ytterligare räkneexempel där.

Lös uppgift 7.21, 23, 24, 25, 26, 27.

De här uppgifterna kan vara lite "kluriga". Här får du med andra ord jobba lite! Se till att du har hela arsenalen med integrationsmetoder från endim, t.ex. partialintegration, mentalt redo.

Klicka på tipsknappen för att synliggöra/dölja några små tips som kanske kan vara till hjälp om du fastnar (försök dock utan hjälp först):

Tips

Efter variabelbytet till polära koordinater i uppgift 7.21 (ja, jag avslöjar vilket byte ni bör göra), vilken endim-metod kan sedan vara lämplig att använda för att integrera med avseende på $r$ ? Det kan hända att du därefter efter några steg vill hitta en primitiv till ett "polynom delat med ett polynom". Hur gör man det? I endim hade vi en procedur i 4 steg för att hantera sådana primitiver. Vilket var det första steget?
I 7.23 kan det efter ett lämpligt variabelbyte vara aktuellt att först använda några trigonometriska formler från endim. När du väl har identifierat vilka trigonometriska omskrivningar som kan vara lämpliga, så visar det sig att det är enklare att integrera med avseende på en av variablerna först. Vilken?
Uppgift 7.24: Rita (som alltid) först ut integrationsområdet! Kan vi modifiera vårt vanliga byte till polära koordinater för att bättre beskriva detta område? Observera att det finns en lösning till 7.24 om du fastnar.
Lösningen till 7.24 kanske kan hjälpa dig att komma igång med uppgift 7.25.
Även till 7.26 finns det en lösning om du fastnar. Notera de trigonometriska formlerna för att skriva om kvadrater av sinus och cosinus. Dessa kan härledas från formlerna för dubbla vinkeln för cosinus - repetera från endimboken! Jag tog också upp dessa omskrivningar i videorna ovan.

Om du inte tycker att dessa tips hjälper tillräckligt, så hör av dig i diskussionsforumet - då kan jag ge mer vägledning!

2. Vi har hittills bara integrerat över begränsade områden i planet. Om området är obegränsat får vi det som kallas generaliserade integral (jämför motsvarande begrepp i endim, där vi integrerade över ett obegränsat intervall, t.ex. från LaTeX: 0 $0$ till $LaTeX: \infty$ $\infty$ ). Ett annat sätt att få en generaliserad integral är om själva funktionen, integranden, är obegränsat stor.

Läs kapitel 7.4. Återigen så täcker videorna ganska väl den rent teoretiska bakgrund du behöver. Koncentrera därför din läsning till exemplen. Om man har en enbart positiv (eller enbart negativ) integrand så behöver man inte tänka på uttömmande sviter, utan bara beräkna dubbelintegralen som "vanligt", med två enkelintegraler, där en eller båda av dessa är generaliserad (i "endim-mening"). Se t.ex. Exempel 7.16 på sidan 249.

Lös uppgift 7.31, 32. I båda dessa uppgifter är integranden icke-negativ överallt, så vi behöver inte tänka på uttömmande sviter i någon av dem.

Några tips (försök dock själv först):

Tips

I 7.31 har vi med faktorn $LaTeX: \sqrt{x^2+y^2}$ $\sqrt{x^2+y^2}$ . VIlket variabelbyte kan då vara lämpligt? Efter detta byte kan det hända att du behöver partialintegrera en massa gånger.
I 7.32 är det viktigt att integrera med avseende på rätt variabel först (se tipset i övningshäftet!).

Du är nu klar med Lektion 10!

Efterarbete

Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!