Lektion 9 - Dubbelintegraler (30/9)

Det andra huvudsakliga analysverktyget för funktioner av flera variabler, utöver derivata, är integraler. Vi skall nu studera detta begrepp. Fokus i den här lektionen kommer att ligga på funktioner av två variabler (eftersom vi då lättast geometriskt kan åskådliggöra vad som händer), men principen blir densamma för funktioner av fler variabler (kommer i senare lektioner). I fallet med två variabler kallar vi integralen för dubbelintegral.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Översikt

Videor: Integralkalkyl del 1-6 (totaltid c:a 45 min) i Spellista Flerdimensionell analys.
Kursbok: Kap 7.1-7.2
Uppgifter: 7.1, 4, 5, 11, 12, 14, 16

Lektion

1. Vi börjar med att introducera själva begreppet dubbelintegral:

Idén för att beräkna en integral i flerdim är att man upprepar flera endim-integraler genom att integrera med avseende på en variabel i taget. Lättast blir fallet då integrationsområdet är en axelparallell rektangel:

Läs kapitel 7.1. Dubbelintegraler definieras med hjälp av approximation av trappfunktioner. Lägg särskilt fokus på figuren på sidan 219; där ser du ett exempel på en trappfunktion i tvåvariabelfallet. Jämför med figuren på sidan innan, som visar en trappfunktion i envariabelfallet. Notera också figuren på sidan 223 som illustrerar hur man praktiskt beräknar en dubbelintegral i fallet då vi integrerar över en axelparallell rektangel. Se till att du förstår hur denna figur kan kopplas till härledningen på sidan 223-224. Återstoden av kapitlet består av ett antal räkneexempel som är lämpliga om du känner att du behöver fler konkreta exempel.

Lös därefter uppgift 7.1, 4, 5.

OBS! När man beräknar en dubbelintegral så är det inte alldeles lätt att på förhand veta vilken variabel man ska integrera med avseende på först. För vissa integraler spelar det ingen roll, för andra kan det bli helt hopplösa (eller t.o.m. omöjliga) räkningar om man börjar med "fel" variabel. Det enda sättet är att prova; om det verkar bli hopplösa räkningar med den ena variabeln först, så prova med att börja med den andra.

I uppgifterna ovan, prova gärna att försöka integrera i båda ordningarna. För en av integralerna är det i alla fall fullt möjligt att integrera i vilken ordning som helst.

2. Om vi inte har en axelparallell rektangel, så får vi tänka till lite vad det gäller integrationsgränserna. Den huvudsakliga idén är dock fortfarande densamma som i rektangelfallet:

Läs kapitel 7.2. Fokusera på exemplen på s. 231-234. Studera också speciellt Sats 7.4 på sidan 227. Dessa är räknelagarna för dubbelintegraler; kontrollera att de känns rimliga (det bör de göra, då de precis motsvarar räknelagarna i endim-fallet).

Lös uppgift 7.11, 12, 14, 16.

Jag påminner om att prova en annan integrationsordning om räkningarna verkar vara hopplösa/omöjliga.

När vi delar upp en dubbelintegral i två enkelintegraler är det viktigt att vi bara har variabler i integrationsgränserna i den inre integralen. Läs igenom Anmärkning 7.2 på sidan 232 och fundera på varför uppdelningen av integralen, som hör till exemplet ovan, inte får se ut som i denna anmärkning.

3. När vi integrerar över en axelparallell rektangel kan vi i vissa fall, då integranden kan skrivas som en produkt av en funktion i LaTeX: x $x$ och en funktion i LaTeX: y $y$ , använda en alternativ metod. I detta specialfall kan man uttrycka dubbelintegralen som en produkt av två enkelintegraler:

Läs Anmärkning 7.1 på sidan 225.

I precis en av de uppgifter du tidigare beräknat på axelparallella rektanglar, uppgift 7.1, 4, 5, går det att separera integranden till formen $LaTeX: f\left(x,y\right)=g(x)h(y)$ $f\left(x,y\right)=g(x)h(y)$ , och således går det att använda metoden i videon på denna. Identifiera vilken uppgift det rör sig om, och använd sedan videons metod för att lösa denna igen.

Du är nu klar med Lektion 9!

Efterarbete

Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!