Lektion 8 - Funktionaldeterminant och implicita funktioner (27/9)

Tidigare har vi i princip endast arbetat med funktioner av flera variabler som är reellvärda, d.v.s. funktioner för vilka funktionsvärdena är reella tal (vi säger också att dessa funktioner är av typen $LaTeX: \mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}$ för något LaTeX: n $n$ ). Men flerdim innefattar även studiet av allmännare s.k. vektorvärda funktioner, vars funktionsvärden är vektorer; dessa är således av typen $LaTeX: \mathbb{R}^{n\:}\longrightarrow\mathbb{R}^p$ $\mathbb{R}^{n\:}\longrightarrow\mathbb{R}^p$ .

Vi ska nu studera hur derivata fungerar för sådana vektorvärda funktioner. För reellvärda funktioner samlade vi alla partiella derivator i en vektor - den s.k. gradienten, $LaTeX: grad\:f\:=\left (f'_{x_1},\:f'_{x_2},\ldots \:f'_{x_n}\right )$ $grad\:f\:=\left (f'_{x_1},\:f'_{x_2},\ldots \:f'_{x_n}\right )$ . Motsvarande sätt att samla derivatorna för en vektorvärd funktion blir i en matris, den s.k. funktionalmatrisen.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Översikt

Videor: Differentialkalkyl vektorvärd del 4-9 (totaltid c:a 60 min) i Spellista Flerdimensionell analys. I mån av tid: videorna del 1-3 (totaltid c:a 40 min).
Kursbok: Kap 6.1-6.4
Uppgifter: 6.9, 11, 14, 24

Lektion

1. I det här första avsnittet kommer du att bekanta dig med begreppet funktionalmatris, och hur denna matris kan tolkas:

Läs kapitel 6.3. (s. 189-194). Se speciellt till att du har koll på definitionen, d.v.s. Definition 6.2, och hur man beräknar funktionalmatrisen - Exempel 6.7 och 6.8. Idéerna bakom avsnittet "Differential och linjärisering" behandlades i den andra videon ovan, och du behöver egentligen inte göra mer än att ögna igenom detta avsnitt.

Det bör nu inte vara något större problem att lösa uppgift 6.9.

Kedjeregeln för sammansätta vektorvärda funktioner kommer nu väsentligen få samma form som tidigare - den yttre derivatan multiplicerad med den inre. Skillnaden blir nu att dessa derivator blir funktionalmatriser, och att de multipliceras med matrismultiplikation:

Läs kapitel 6.3. (s. 194-197) med fokus på Exempel 6.10. Videon ovan beskriver den teoretiska konstruktionen av kedjeregeln, medan detta exempel visar ett konkret räkneexempel. Notera att man i Exempel 6.10 först deriverar funktionen utan att använda kedjeregeln, och sedan upprepar deriveringen med kedjeregeln. Resultatet blir så klart detsamma oavsett.

Lös uppgift 6.11. Notera att du här, precis som i Exempel 6.10, har möjlighet att lösa uppgiften på två olika sätt - med och utan kedjeregeln. Lös uppgiften på båda sätten!

2. Funktionalmatrisen ger oss information om hur en vektorvärd funktion uppför sig lokalt, d.v.s. nära en viss punkt. Ytterligare information om hur funktionen uppför sig lokalt kan fås genom att beräkna determinanten av funktionalmatrisen. (För att detta ska kunna göras måste vi dock ha samma dimension på definitionsmängd och målmängd, d.v.s. vi måste ha en funktion av typen $LaTeX: \mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n$ .) Vi får då det begrepp som kallas funktionaldeterminant:

Läs kapitel 6.3. (s. 197-200). Fokusera på Exempel 6.11 och 6.12, samt bilderna på sidan 199 respektive 200. De funktionaldeterminanter vi kommer att använda mest i framtiden är de du hittar i dessa exempel - funktionaldeterminanterna för byte till polära respektive rymdpolära koordinater. Som beskrevs i videorna svarar funktionaldeterminanten mot hur areor och volymer lokalt förändras i storlek då man tillämpar funktionen. Figurerna på sidorna 199 och 120 visar just area-/volymförändringen för byte till polära respektive rymdpolära koordinater

Lös uppgift 6.14.

3. Vi ska nu titta på det som kallas implicita funktionssatsen. Att beskriva vad denna går ut på är lättast att göra i videoform:

Läs kapitel 6.3. (s. 203-209). Här tror jag det är bäst att läsa boksidorna ganska noggrant. Notera hur man på sidorna 208-209 beskriver hur implicita funktionssatsen kan tillämpas för kurvor givna av flera ekvationer. I precis det fallet kommer funktionaldeterminanten naturligt in.

Lös uppgift 6.24. Använd Exempel 6.14 och 6.15 som "modell".

Det finns en annan intressant sats, inversa funktionssatsen, som innehåller funktionaldeterminanten. Läs kapitel 6.4, s. 200-203, och försök att förstå idéerna bakom denna sats.

4. I mån av tid: Den här delen finns inga övningsuppgifter knutna till, men kan ge bättre förståelse för hur (vissa) vektorvärda funktioner kan tolkas geometriskt. Titta igenom följande tre videor:

Läs slutligen igenom kapitel 6.1- 6.2.

Du är nu klar med Lektion 8!

Efterarbete

Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!