Lektion 7 - Optimering med bivillkor (23/9)

Vi ska nu fortsätta med optimering, och studera s.k. optimering med bivillkor.

När vi tidigare, vid optimering av funktioner av två variabler, studerade randen, gjorde vi det genom att parametrisera randkurvan/randkurvorna. Vi fick då en funktion av en variabel, och reducerade alltså randproblemet till ett optimeringsproblem i endim. Men vi får stora problem om det inte går, eller är besvärligt, att parametrisera randkurvan/randkurvorna. Hur ska vi då hantera detta? Optimering med bivillkor adresserar precis detta problem.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Översikt

Videor: Optimering del 14-17 (totaltid c:a 60 min) i Spellista Flerdimensionell analys.
Kursbok: Kap 5.4
Uppgifter: 5.37, 39, 40, 42, 45

Lektion

1. Vi börjar med optimering med bivillkor i två dimensioner. Här kommer vi till fullo att utnyttja gradientbegreppet.

Läs kapitel 5.4 (s. 170-175). Här finns ett par utförliga räkneexempel.

Lös uppgifterna 5.37, 39, 40. I de två första uppgifterna optimerar vi över en kompakt mängd (övertyga dig om detta!), så största och minsta värde existerar. Det räcker alltså att jämföra alla punkter där grad LaTeX: f $f$ och grad LaTeX: g $g$ är parallella (har vi några ändpunkter till bivillkoret att studera i dessa båda uppgifter?).

I uppgift 37 leder ett av de villkor du får från att grad $f$ och grad $g$ ska vara parallella till ganska "bökiga" räkningar när du ska ta fram punkterna. Fundera på om du verkligen måste räkna ut punkterna i detta ena fall, eller om du här kan resonera annorlunda. Om du inte är med på vad jag menar, studera hur de har resonerat i lösningen i övningshäftet.
Notera att du i uppgift 37 faktiskt kan parametrisera kurvan som svarar mot bivillkoret. Sätter du in denna parametrisering i funktionen får du ett optimeringsproblem i en variabel. Du behöver alltså inte lösa denna uppgift med metoden i videon. (Jämför lösningen!)
I uppgift 39 kan du förenkla dina räkningar något genom att optimera funktionen $x^2+y^2$ i stället för $LaTeX: \sqrt{x^2+y^2}$ $\sqrt{x^2+y^2}$ . (Varför går det bra?)

Uppgift 40 är lurig, eftersom bivillkoret inte ger en kompakt mängd (varför?). Fundera på hur du kan hantera detta. Är det möjligt att parametrisera bivillkoret i det här fallet, och därmed reducera problemet till ett endim-problem?

2. Nästa steg är optimering med bivillkor i tre dimensioner. Idéerna är här desamma, men skillnaden blir att det inte längre går att använda determinant för att kolla när grad LaTeX: f $f$ och grad LaTeX: g $g$ är parallella:

Läs kapitel 5.4 (s. 175-177).

Lös uppgift 5.42. I två dimensioner gav bivillkoret upphov till en kurva i planet, och man var då tvungen att studera eventuella ändpunkter till denna kurva. I tre dimensioner ger bivillkoret en yta i rummet, och i stället får man då studera en eventuell randkurva ("ändkurva") till bivillkoret. Vad blir randkurvan/randkurvorna till ytan i uppgift 42? Rita figur!

3. Slutligen skall vi titta på optimering med flera bivillkor. Om vi t.ex. har två bivillkor i rummet, så ger detta upphov till en kurva i rummet att optimera över. Samma principer som tidigare ligger till grund för resonemanget:

Om du har glömt hur man räknade ut 3x3-determinanter i linjär algebra, så är det ett bra tillfälle att repetera detta nu.

Läs kapitel 5.4 (s. 178-180).

Lös uppgift 5.45.

Du är nu klar med Lektion 7!

Efterarbete

Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!