Lektion 5 - Högre derivator och lokala undersökningar (16/9)

I den här lektionen, och några framöver, ska vi studera hur de derivator vi har infört kan användas för att analysera våra funktioner. I det här första passet koncentrerar vi oss på lokala extrempunkter, och hur vi kan hitta och typbestämma sådana. För det ändamålet visar det sig att vi behöver arbeta med partiella andraderivator. Vi ska även studera hur tangentplanet kan användas för att approximera en funktion nära en given punkt med hjälp av en s.k. differential.

Som vanligt, om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

OBS! Den här lektionen är innehållsmässigt ganska stor, men, som tidigare, jämnar det ut sig med tiden. Exempelvis är veckans andra lektion, Lektion 6, relativt kort.

Översikt

Videor: Differentialkalkyl del 14-17 samt Optimering del 1-8 (totaltid c:a 130 min) i Spellista Flerdimensionell analys.
Kursbok: Kap 4.5-4.6, 4.7 (s. 135–138), 5.1-5.2
Uppgifter: 4.39ad, 54, 55, 56, 59, 62, 63; 5.1, 5, 6, 7, 8

Lektion

1. Vi börjar med det jag nämnde sist i inledningen - approximation av en funktion med hjälp av differential. Titta igenom nedanstående video. (Differentialbegreppet bygger på begreppet differentierbarhet från Lektion 3. Om du känner att du behöver repetera detta senare begrepp, gå gärna tillbaka.)

Motsvarande läsavsnitt är kapitel 4.5. Det du behöver har i princip tagits upp i videon, men vill du ha ett andra räkneexempel så finner du det i Exempel 4.17. Notera den inrutade formeln på sidan 123 - differentialer används även för funktioner av fler än två variabler! Exempel 4.18 är inte nödvändigt, men kan vara trevligt om du vill se hur differentialer konkret kan tillämpas.

Lös nu uppgift 4.39ad.

2. Vi ska snart komma in på lokala extrempunkter, men som förberedelse behöver vi bekanta oss med partiella derivator av andra ordningen. Om du har koll på första ordningens derivator så tror jag inte dessa ska ställa till några större problem:

Läs kapitel 4.6 (s. 124-125). Se först till att du har klart för dig de olika sätten att beteckna andraderivata. Som nämndes i videon kan vi kasta om ordningsföljden i blandade andraderivator (se Sats 4.10). Förutsättningen är att andraderivatorna är kontinuerliga; detta är inget problem för oss - vi kommer bara att arbeta med funktioner som uppfyller detta krav. På sidan 125 diskuteras beteckningar för, och beräkningar av, partiella tredjederivator. (Det finns inget som hindrar oss att derivera till ännu högre ordning.) Även i detta fall kan vi kasta om ordningsföljden.

Lös nu uppgift 4.54, 55, 56. Uppgift 55 och 56 är av samma typ; i båda fallen behöver du derivera en sammansatt funktion, vars yttre funktion är obekant, två gånger med hjälp av kedjeregeln. Om du fastnar på uppgift 55 så finns det en lösning i övningshäftet. Uppgift 56 är en utmaning: Här behöver du systematiskt ta till alla typer av deriveringsregler, och på slutet dessutom påminna dig om hur du löste differentialekvationer i endimkursen.

Uppgift 4.55. 56 är en bra uppvärmning för nästa steg, som brukar uppfattas som ganska svårt - att beräkna andraderivator av en sammansatt funktion vars yttre funktion är okänd, och av flera variabler! I den första videon beskrivs proceduren, i den andra hur den kan användas för att lösa en partiell differentialekvation.

Läsavsnitt är kapitel 4.6 (s. 126-128), 4.7 (s. 135–138). I avsnittet i kapitel 4.6 hittar du ytterligare två exempel på derivering om du känner att du behöver. Avsnittet i kapitel 4.7 innehåller ett stort exempel med en differentialekvation. Det kan du, om du vill, hoppa över med gott samvete. (Det är dock ganska intressant om du vill se hur partiella differentialekvationer kan tillämpas.)

Lös nu uppgift 4.59, 62, 63.

3. Vi saknar ytterligare ett förberedelsesteg. Problemet med partiella andraderivator, i alla fall om vi vill använda dem för att klassificera lokala extrempunkter (som vi snart skall göra), är att vi har så många olika. Ett sätt att hantera alla andraderivatorna samtidigt är Taylorutveckling. Om du kommer ihåg Taylorutveckling från endim-kursen (med specialnamnet Maclaurinutveckling när vi utvecklade kring punkten LaTeX: x=0 $x=0$ ) så bör nästa video inte kännas så främmande.

Läs kapitel 5.1. Fokusera på formuleringen av Sats 5.1, samt Exempel 5.1. I formuleringen av satsen, lägg speciellt på minnet utseendet av termen med andraderivatorna; det är framförallt den vi kommer att använda senare.

Lös sedan uppgift 5.1.

4. Nu kommer vi äntligen in på lokala extrempunkter. I dessa första videor fokuserar vi på ett s.k. nödvändigt villkor för lokala extrempunkter - stationära punkter. För att det skall vara möjligt att en (inre) punkt är en lokal extrempunkt till en funktion måste punkten vara stationär.

Läs kapitel 5.2 (s. 150-155).

Det finns tyvärr inga uppgifter i övningshäftet där man enbart ska bestämma de stationära punkterna till en funktion. Gör därför följande: Modifiera de båda uppgifterna 5.7, 8 så att texten lyder "Bestäm alla stationära punkter till" i stället för "Bestäm alla lokala extrempunkter till", och lös sedan dessa.

Facit blir nu, med denna omformulering, i stället

5.7: stationära punkter (0,0) och (1/12,-1/6)

5.8: stationära punkter (-1,0) och (-3,-1).

5. Stationära punkter ger oss bara "kandidater" till lokala extrempunkter. De ger oss heller ingen information om vilken typ av extrempunkt vi eventuellt har. För att lösa detta problem vänder vi oss till partiella andraderivator, och den term vi fick i Taylorutvecklingen. Här behöver du titta på en hel serie med fyra videor:

Läs kapitel 5.2 (s. 155-161). Se till att du har koll på definitionen av den kvadratiska formen (rutan överst på sidan 156), Definition 5.2 och Sats 5.3.

Lös först uppgift 5.5. Lös därefter (igen!) uppgift 5.7, 8, fast denna gång formulerade precis som i övningsboken. Du kan återanvända dina tidigare beräkningar av stationära punkter.

OBS! I följande avslutande video ger jag ett exempel med en funktion $LaTeX: f\left(x,y,z\right)$ $f\left(x,y,z\right)$ , av tre variabler, men i formeln råkar jag skriva derivatorna $LaTeX: f''_{xx}\left(a,b\right),\:f''_{xy}\left(a,b\right)$ $f''_{xx}\left(a,b\right),\:f''_{xy}\left(a,b\right)$ , ... , d.v.s. med två koordinater $LaTeX: \left(a,b\right)$ $\left(a,b\right)$ . Detta är fel! Givetvis ska det stå $LaTeX: f''_{xx}\left(a,b,c\right),\:f''_{xy}\left(a,b,c\right)$ $f''_{xx}\left(a,b,c\right),\:f''_{xy}\left(a,b,c\right)$ o.s.v.

Kvadratiska former med fler än två variabler är inte helt lätta. Vill du ha ytterligare ett exempel, läs kapitel 5.2 (s. 161-162).

Lös slutligen uppgift 5.6.

Du är nu klar med Lektion 5!

Efterarbete

Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!