Lektion 4 - Kedjeregeln, gradient och riktningsderivata (13/9)

I denna lektion kommer vi att uppnå det mål vi satte upp i Lektion 3, nämligen att beräkna derivatan i en valfri riktning - en så kallad riktningsderivata. Vi kommer att upptäcka att de partiella derivator vi tog fram senast är fullt tillräckliga för att bestämma samtliga riktningsderivator. Detta får anses vara goda nyheter, då partiella derivator är relativt enkla att hantera.

Vi kommer också att studera hur kedjeregeln fungerar i det flerdimensionella fallet. För funktioner av flera variabler har vi många fler sätt att sätta samman funktioner. Kedjeregeln i flerdim blir därför något mer komplicerad jämfört med endim-varianten, även om de grundläggande principerna från endim fortfarande gäller.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Översikt

Videor: Differentialkalkyl del 6-13 (totaltid c:a 60 min) i Spellista Flerdimensionell analys.
Kursbok: Kap 4.1 (s. 99-102), 4.3-4.4, 4.7 (s. 131–135)
Uppgifter: 4.10, 11, 16, 18, 20, 21, 27, 30, 32, 49, 50, 52

Lektion

1. Kedjeregeln del 1: Vi börjar med en enklare variant av kedjeregeln, som du i själva verket redan har stött på tidigare. (Här får du ingen inledande video att titta igenom, utan i stället en introducerande text.)

När vi deriverar partiellt tänker vi oss som bekant att alla variabler förutom den vi deriverar med avseende på är konstanter, och deriverar sedan funktionen som vanligt. Som tidigare nämnts kan vi då använda alla deriveringsregler från endim utan problem, bl.a. kedjeregeln. Om vi t.ex. vill beräkna $LaTeX: f\:'_x$ $f\:'_x$ av

$LaTeX: f\left(x,y\right)\:=\:\ln\left(1+xy^2\right)$ $f\left(x,y\right)\:=\:\ln\left(1+xy^2\right)$

så använder vi kedjeregeln och får

$LaTeX: f\:'_x\left(x,y\right)=\:\frac{1}{1+xy^2}\cdot y^2$ $f\:'_x\left(x,y\right)=\:\frac{1}{1+xy^2}\cdot y^2$ Derivatan av den yttre logaritmfunktionen, blir "1 delat med den inre funktionen" och den inre derivatan blir LaTeX: y^2 $y^2$ . Inga konstigheter så här långt.

I vissa fall känner man dock inte till vilken den yttre funktionen är: Antag att vi i stället vill beräkna den partiella derivatan $LaTeX: h\:'_x$ $h\:'_x$ av den sammansatta funktionen

$LaTeX: h\left(x,y\right)=\:f\:\left(1+xy^2\right)$ $h\left(x,y\right)=\:f\:\left(1+xy^2\right)$

där den inre funktionen som ovan är LaTeX: 1+xy^2 $1+xy^2$ , men där den yttre funktionen nu är okänd. Visserligen ser detta problem något annorlunda ut, men notera att det principiellt inte blir någon skillnad mot ovan. Vi använder återigen kedjeregeln och får

$LaTeX: h'_x\left(x,y\right)=f'\left(1+xy^2\right)\cdot y^2$ $h'_x\left(x,y\right)=f'\left(1+xy^2\right)\cdot y^2$

med den skillnaden att vi nu bara kan skriva $LaTeX: f'\left(1+xy^2\right)$ $f'\left(1+xy^2\right)$ eftersom vi inte vet hur den yttre funktionen $f$ ser ut.

Läs nu kapitel 4.3 (s. 107-109). Koncentrera dig på formel (4.9), som beskriver precis det jag behandlade ovan, och exemplen 4.8 och 4.9.

Använd nu denna variant av kedjeregeln för att försöka lösa uppgift 4.10, 11. Det finns en lösning till uppgift 11 om du skulle köra fast; speciellt b)-uppgiften kan vara lite lurig.

Vi ska senare i lektionen återkomma till den mer allmänna, och svårare, versionen av kedjeregeln.

2. Vi övergår nu till begreppet riktningsderivata som nämndes i inledningen. Ett begrepp som är intimt förknippat med riktningsderivata är gradient. Titta först igenom följande introducerande videor:

Läs kapitel 4.1 (s. 99-102), 4.4 (s. 113-117). I kapitel 4.1 presenteras själva begreppen riktningsderivata och gradient. Koncentrera dig på den vackra(?) figuren på sidan 100 som illustrerar riktningsderivatan, och se till att du har koll på hur gradienten definieras. Avsnittet i kapitel 4.4 beskriver hur man beräknar riktningsderivatan. Lägg här mest fokus på Sats 4.6, Exempel 4.13, Sats 4.7 och Exempel 4.14.

Nu är du redo att ge dig på uppgift 4.16, 18, 20, 21. Observera att det i uppgift 20 står "mot punkten". Hur bör man tolka det? Uppgift 21 är lite knivig, men det finns en fullständig lösning i övningshäftet. Försök dock först på egen hand!

3. Som du nu har lärt dig pekar gradienten i den riktning i vilken riktningsderivatan är störst. Men gradienten har också en annan intressant geometrisk egenskap; det visar sig att man kan knyta den till ett par begrepp som vi gick igenom redan i Lektion 2 - nivåkurva och nivåyta. Nedanstående tre videor behandlar detta:

Läs kapitel 4.4 (s. 118-120). Fokusera på exemplen!

Lös därefter uppgift 4.27, 30, 32. Uppgift 32 är svårare. Lösning till denna finns, men, som tidigare, försök själv först.

4. Kedjeregeln del 2: Nu blir det rejält mycket svårare! I den första delen av kedjeregeln behandlade vi sammansatta funktioner där den yttre funktionen var en funktion av en variabel, dvs. en vanlig endim-funktion. Nu ska vi se på fallet där den yttre funktionen är en funktion av flera variabler. Det visar sig då att resultatet av kedjeregeln blir en summa av derivator.

Titta igenom nedanstående tre videor.

Kommentar: I den första videon presenterar jag formeln för kedjeregeln i det allmänna fallet och försöker, utan att gå in på det komplicerade beviset, att förklara varför den ser ut som den gör. Det är inte alldeles lätt att förklara, så tycker du det är hopplöst att begripa så gör det inte så mycket. Koncentrera dig i så fall bara på hur formeln ser ut. Hur man mer handfast räknar med kedjeregeln, vilket jag är säker på kommer att vara mycket klarare, följer i video nummer två och tre.

text

Läs kapitel 4.3 (s. 110-113), 4.7 (s. 131–135). Här skulle jag återigen vilja tipsa om exemplen, speciellt om du känner att du behöver fler än de som presenteras i videorna. Studera då Exempel 4.11 och 4.12 på s. 112-113 och 4.27 och 4.28 på s. 132 respektive 134.

Lös uppgift 4.49, 50, 52. I uppgift 49 finns det med en parameter LaTeX: k $k$ med i variabelbytet. I a)-uppgiften behandlar du denna som en konstant. I ledningen till b)-uppgiften står det något kryptiska "välj denna parameter lämpligt". Tolka detta som att du ska välja $k$ så att din nya, transformerade, ekvation ska bli så enkel som möjligt. Du vill att den ska bli så pass enkel att den går att lösa!

Du är nu klar med Lektion 4!

Efterarbete

Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!