Lektion 3 - Partiella derivator och differentierbarhet (9/9)

Nu när vi (förhoppningsvis) har lite koll på funktioner av flera variabler är det dags att börja med den egentliga analysen av dessa. I denna lektion kommer vi att studera derivata, och hur detta begrepp översätts till det flerdimensionella fallet.  Vi kommer att upptäcka att beräkning av derivator blir relativt rättframt och naturligt (i alla fall om vi har koll på deriveringen från endim), men en nyhet är att vi får flera olika derivator eftersom vi nu kan derivera i olika riktningar.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Lycka till!

Översikt

• Videor: Differentialkalkyl del 1-5 (totaltid c:a 60 min) i Spellista Flerdimensionell analys.
• Kursbok: Kap 4.1 (s.93-99), 4.2, 4.7 (s. 128-131)
• Uppgifter: 4.1, 2ab, 4, 5, 6, 38a, 45a

Lektion

1. De viktigaste derivatorna i flerdim är de i koordinataxlarnas riktning (x-axeln, y-axeln et.c.), de så kallade partiella derivatorna. Titta igenom följande två videor:

Som du märker är det relativt rättframt att beräkna sådana derivator. För att beräkna f'_x tänker du bara att övriga variabler fungerar som konstanter och deriverar som vanligt, för f'_y betraktar du alla variabler förutom y som konstanter o.s.v.

Motsvarande avsnitt i boken är kapitel 4.1 (s. 93-97). I princip allt på dessa sidor har redan behandlats i videorna. Om du vill ha lite fler konkreta deriveringsexempel kan du koncentrera ditt läsande till Exempel 4.1-4.3.

Lös nu uppgift 4.1, 2ab, 4.  Notera att alla deriveringsregler - kedjeregeln, produktregeln, kvotregeln m.m. -  fungerar precis som vanligt.

2. Motsvarigheten till tangentlinjer i endim är, för funktioner av två variabler, tangentplan. Detta begrepp behandlas i följande video:

Läs kapitel 4.1 (s. 97-99). Koncentrera dig på figuren på sidan 98 och förvissa dig om att du förstår hur ekvation (4.3) för tangentplan härleds. När du väl har förstått principen är det fritt fram att använda (4.3) som en "formel" för att ta fram tangentplan. Vill du se ytterligare ett uträknat exempel så hittar du ett sådant i Exempel 4.4.

Lös sedan uppgift 4.5, 6. Uppgift 6 är lite svårare: Visserligen finns det en lösning i övningshäftet, men försök att lösa uppgiften utan att snegla på denna. Ansätt en godtycklig punkt (a,b,f(a,b)) på funktionsytan och beräkna tangentplanet i denna. Hur avgör man om två plan är parallella? Kan man utnyttja planens normalvektorer? Hur tar man fram normalvektorer till ett plan? Detta är en bra uppgift för att repetera "slumrande" kunskaper i linjär algebra. 

3. Partiella derivator är visserligen trevliga (då de är relativt enkla att beräkna), men ger oss tyvärr endast information om tillväxthastigheten i vissa specifika riktningar. Vårt mål är att kunna beräkna derivatan i valfri riktning. För att vara säkra på att kunna göra det senare måste vår funktionsgraf uppföra sig "väl" i alla riktningar. Den flerdimensionella motsvarigheten till att en funktion är deriverbar är att den är s.k. differentierbar. Detta begrepp är lite "trixigt". Börja med att titta på följande video:

Här tror jag att du måste läsa kapitel 4.2 ganska noga. Bevisen kan du dock hoppa över i en första genomläsning - koncentrera dig på vad begreppet går ut på.

Lös nu uppgift 4.38a. Denna uppgift är nästan identisk med den i videon (endast punkten skiljer sig åt). Vill du ha lite mer utmaning, välj i stället någon av uppgifterna b-d. 

Som du ser är det ganska besvärligt att kontrollera differentierbarhet. Turligt nog finns det en sats som kan hjälpa oss att garantera differentierbarhet. Vad säger denna? (Sök i avsnittet i boken!)

4. Nu när vi kan derivera partiellt så kan vi också, genom "baklänges derivering", bestämma primitiva funktioner partiellt:

Läs kapitel 4.7 (s. 128-131). Fokusera på exemplen: Exempel 4.23, 4.24 och 4.25.

Lös därefter uppgift 4.45a.

 

Du är nu klar med Lektion 3!

Efterarbete

• Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
• Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!