Lektion 1 - Analytisk geometri (2/9)

Grunden för allt fortsatt arbete i Flerdimensionell analys är att vi på ett lämpligt sätt kan beskriva olika typer av områden i planet och i rummet. I denna lektion, Analytisk geometri, ska vi studera denna typ av beskrivningar.

Om du själv vill lägga upp dina studier, använd översikten. Om du vill ha ett förslag till upplägg, följ anvisningarna under 'Lektion' nedan.

Lycka till!

Översikt

Lektion

1. I Flerdimensionell analys kommer vi att använda metoder från båda de tidigare kurserna Endimensionell analys och Linjär algebra. Kapitel 1 i läroboken är därför en kort sammanfattning av grundläggande begrepp från dessa kurser. (Det finns heller inga övningsuppgifter knutna till dessa kapitel.) Det är inte nödvändigt att du läser hela detta kapitel, utan det räcker att du ögnar igenom det så att du vet vad du innehåller och kan slå upp begrepp här som du eventuellt har glömt bort.

2. Vi börjar med att studera områden i planet. Titta igenom de följande två introducerande videorna Analytisk geometri del 1-2:

Läs även igenom kapitel 2.1 i boken (om du vill så kan du hoppa över sid. 26 så länge). En bra sammanfattning av första- och andragradskurvor, om du har glömt dessa från Endim, hittar du på sid. 31.

Lös sedan uppgift 2.2, 3, 4. För uppgift 2.3, om du har glömt hur hyperbler (med asymptoter) hanteras så rekommenderar jag att du tittar extra på Exempel 2.10 på sidan 30 i läroboken.

Titta sedan på videon Analytisk geometri del 3 som behandlar absolutbelopp:

Om du inte redan har gjort det, läs även igenom exemplet på sidan 26 i läroboken.

Nu är du redo att tackla uppgift 2.6, 7, 8, som är lite svårare. Några tips:

  • Kom ihåg "standardstrategin" att först rita ut randen, genom att sätta likhet i din olikhet.
  • Om du har svårt att hitta området, prova med att sätt in några olika punkter i olikheten och testa. Det brukar hjälpa.
  • Absolutbelopp hanteras ibland bäst genom att dela upp i fall. Har du ett uttryck i |x| och |y|, studera vad som händer i varje kvadrant i xy-planet!
  • I M3 betyder max det största av talen, så t.ex. max(3,-1)=3.
  • Om du i 2.7, 8 är osäker på vad begreppen betyder, så hittar du dessa i läroboken sid. 8-9.

3. Vi går nu över till områden i rummet. Nu blir antalet olika typer vi behöver studera ganska stort, så luta dig tillbaka och titta på de 6 videorna Analytisk geometri del 4-9 (glöm inte att ta en bensträckare/kaffepaus halvvägs!):

Det läsavsnitt i boken som hör till videorna ovan är kapitel 2.2. Du kan givetvis läsa igenom hela delkapitlet, men eftersom innehållet mer eller mer mindre täckts av videorna ovan, så tror jag att det är mest effektivt att du bara ögnar igenom det (i mån av tid kan du alltid läsa det senare). Delkapitlet innehåller ett stort antal exempel som du kan slå upp vid behov då du stöter på en liknande typ av uppgift. En sammanfattning av alla de olika typerna av ytor hittar du på sidan 45.

Lös nu uppgift 2.11. 

Det är som du ser bara en uppgift, men i gengäld är det många delproblem. Samma tips gäller som för planet, med tillägget att det i rummet kan vara lämpligt att skära med koordinatplanen för att visualisera ytan. Det är inte alldeles lätt att rita tredimensionella ytor på ett plant papper, men träning ger färdighet!

Observera att du i den första mängden (med insatt likhet i stället för olikhet) har ett plan - här har du nytta av dina kunskaper i linjär algebra.

OBS! Det finns en typ av yta som jag inte tar upp i videorna ovan, och som du inte har någon övningsuppgift på (men som dyker upp i senare lektioner), och det är hyperboloiden. Det kan därför vara bra att avsluta med att läsa Exempel 2.20-2.21 på s. 40-41 lite mer noggrant.

4. Vissa typer av områden i planet beskrivs enklast med hjälp av så kallade polära koordinater (jämför polär form för komplexa tal). Titta igenom videon Analytisk geometri del 10:

En variant av polära koordinater för ellipsformade områden är ellipspolära koordinater, som beskrivs i videon Analytisk geometri del 11:

Läs sedan igenom kapitel 2.3, sidan 46-49 i läroboken.

Lös uppgift 2.14. 

Motsvarigheterna till polära koordinater i rummet är cylindriska koordinater och rymdpolära koordinater (där de senare är viktigast). Se nu videon Analytisk geometri del 12:

Om du fortfarande tycker rymdpolära koordinater verkar vara besvärligt, läs kapitel 2.3, sidan 51-54 i läroboken. Avsnittet på sidan 49-50 om cylindriska koordinater läser du kursivt/i mån av tid.

Lös uppgift 2.15.

Du är nu klar med Lektion 1!

Efterarbete

  • Sammanställ de frågor du har från denna lektion. Det kan handla om uppgifter du inte lyckats lösa, oklara teoriavsnitt m.m. Om du arbetar i grupp kanske en i gruppen kan sammanställa gruppens frågor. Ta sedan med dig dessa frågor till ditt övningstillfälle. Fundera över om några av dina frågor kanske passar bättre på Canvas-sidans diskussionsforum. Kanske kan de vara av intresse även för dina kursare? På forumet kan du få svar både av lärarna på kursen och av dina studiekamrater.
  • Eftersom det är första gången jag utformar denna typ av distanslektioner är jag väldigt nyfiken på din feedback. Vad tyckte du? Något jag bör ändra på/förbättra? Mejla mig eller skriv på diskussionsforumet!