Envariabelanalys

Envariabelanalys

MATA31 Envariabelanalys, 15 hp,  är en obligatorisk kurs för en naturvetenskaplig kandidatexamen i matematik och fysik och den kan även läsas som fristående kurs. Kursen ges på halvfart varje termin. Kursen ges på engelska på höstterminen och på svenska på vårterminen.

Kursinnehåll

Kursen behandlar:

  • De reella talen: axiomatisk beskrivning och exempel på bevis för grundläggande
    räkneregler.
  • De elementära funktionerna, polynom, rationella funktioner, exponentialfunktionen och den naturliga logaritmen, de trigonometriska funktionerna och de inversa trigonometriska funktionerna; definitioner, grundläggande egenskaper och kvantitativa approximationer med hjälp arepresentationer i termer av areor och båglängder.
  • Talföljder och deras gränsvärden: formell definition av gränsvärden, exempel på bevis för räkneregler, visuell representation av konvergens av rekursiva talföljder, kvantitativa approximationer.
  • Serier: tillämpningar av och bevis för konvergenskriterier, absolutkonvergens, numeriska approximationer med hjälp av delsummor och resttermuppskattningar.
  • Funktioner och deras gränsvärden: formell definition av gränsvärden, bevis och användning av tillhörande räkneregler, oegentliga gränsvärden, asymptoter.
  • Kontinuitet: kontinuitet hos elementära funktioner, satsen om mellanliggande värden och extremvärdessatsen.
  • Derivator: definition, bevis och tillämpningar av räkneregler för derivator, deriveringsformler för elementära funktioner, Rolles lemma, medelvärdessatsen, L’Hôpitals regel.
  • Tillämpningar av derivatan: optimering och kurvritning, bevistekniker för
    likheter och olikheter.
  • Obestämda integraler: bevis för och tillämpningar av grundläggande beräkningsregler och integrationsmetoder såsom variabelbyte, partialintegration och användning av partialbråksuppdelning.
  • Bestämda integraler: Darboux-integrerbarhet av monotona funktioner samt av funktioner med begränsad derivata med relaterade feluppskattningar, analysens huvudsats, tillämpningar på båglängder, rotationsvolymer och ytor, numeriska approximationer av bestämda integraler.
  • Generaliserade integraler: konvergenskriterier för generaliserade integraler av positiva funktioner, absolutkonvergens, jämförelser med serier.
  • Differentialekvationer: riktningsfält, lösningsmetoder för separabla eller lineära första ordningens differentialekvationer, lösningsmetod för högre ordningens lineära differentialekvationer med konstanta koefficienter; numeriska approximationer av lösningar av begynnelsevärdesproblem med Eulers metod.
  • Taylorutvecklingar: Taylors formel med restterm i Lagranges form, entydighetssatsen för Taylorpolynom, numeriska approximationer av funktionsvärden och bestämda integraler med hjälp av Taylorpolynom.
  • Dessutom behandlas material om mängder, funktioner och relationer, induktion, binomialsatsen samt om variabler, for-loopar och if-satser i Python i början av kursen

Undervisning
Undervisningen består av föreläsningar där nya teoriavsnitt introduceras, lektioner (seminarieövningar) där lösningar till läxuppgifter diskuteras och presenteras, räkneövningar samt SI-möten som är avsedda som stöd till självstudier.

Examination

Examinationen består av följande delar:

  • skriftlig inlämningsuppgift i matematisk kommunikation (1 hp)
  • muntlig presentation av problemlösningsuppgift (1 hp)
  • datorbaserade tester (1 hp)
  • skriftlig mitterminstentamen (4,5 hp)
  • skriftlig sluttentamen med valfri muntlig tentamen (7,5 hp)

Mer information finns på sidan om examination.

Kurslitteratur

Kursplan

Kursutvärdering
Länk till kursutvärderingar på institutionens hemsida:

Offentlig domän Kursens innehåll erbjuds under en Offentlig domän Links to an external site. licens. Kursens innehåll lyder under denna licens om inget annat uppges.