English version

Om kursen

I samband med undersökningar av tyngdlagen ställde sig Galileo omkring 1637 följande fråga:

Om en pärla under tyngdkraftens inverkan glider friktionsfritt längs en kurva i ett vertikalt plan från en punkt A till en annan, lägre belägen, punkt B, kommer då falltiden att vara kortare om kurvan är formad som en cirkelbåge snarare än som en rät linje?

År 1696, ställdes denna fråga på sin spets genom att den schweiziska matematikern Johann Bernoulli gav sina kollegor utmaningen att hitta BRACHISTOCHRONEN, d.v.s. den kurva mellan A och B längs vilken falltiden blir kortast möjlig. Korrekta lösningar lämnades in av Newton, Leibniz, l'Hôpital, Tschirnhaus och brodern Jakob Bernoulli. Därmed var grunden lagd till ett nytt delområde av matematiken: VARIATIONSKALKYLEN.

Variationskalkyl handlar om att optimera integraluttryck (funktionaler) med avseende på funktioner som ingår i integranden. Under 1700-talet visade det sig att en rad intressanta problem inom geometri och mekanik kunde formuleras som variationsproblem. Exempelvis publicerade Euler 1734 lösningen till problemet att bestämma den rotationsyta vars area är minsta möjliga. Mot artonhundratalets slut ifrågasattes dock variationskalkylens grundvaler av bl. a. Weierstrass, som omformulerade teorin så att den samtidigt blev både enklare och mera rigorös. Det är väsentligen denna form som används idag.

Under nittonhundratalet tillkom de så kallade DIREKTA VARIATIONSMETODERNA som spelat en stor roll inom geometri och teorin för icke-linjära partiella differentialekvationer. Moderna tillämpningar av variationskalkylen finns inom t.ex. fysik, reglerteknik, finansiell ekonomi, biologi och bildanalys.

Kursen inleds med några klassiska exempel. Sedan går man vidare till definitionen av variationen av en funktional och Eulers differentialekvationer. Dessa metoder används i problem med olika rand- och bivillkor. Därefter behandlas Legendres, Jacobis och Weierstrass villkor för lokala maxima och minima. Vi kommer att använda datorhjälpmedel, till exempel MATLAB för att lösa några uppgifter.

Kursen är tänkt för studenter som vill fördjupa sina kunskaper i matematisk analys och se tillämpningar av materialet i grundkurserna. Den är också lämplig för doktorander i mekanik, reglerteori, datorseende och hållfasthetslära.

Kursplan - läsperiod - litteraturlista LTH.se