English version

Om kursen

Kursens syfte är att ge den matematikintresserade teknologen möjlighet att utvidga sina kunskaper i en gren av matematiken som är relevant för tillämpningar eller modern forskning.

Kursplan - läsperiod - litteraturlista LTH.se

Våren 2025

Under läsperiod 4 under våren 2025 kommer kursen FMAN90 Fördjupningskurs i valt område av matematiken att ges av Magnus Goffeng. Schemat kommer att bestämmas på introduktionsmötet redan 11e mars, i MH:333 vid 10.15, kan du inte närvara maila läraren.

Denna kursen fördjupar sig i olika begrepp från topologi, geometri och analys. Utgångspunkten för kursen är begreppet vindningstal. Vindningstalet av en sluten kurva i planet är antalet varv kurvan går runt en given punkt. Inom den komplexa analysen beskriver vindningstalet av en analytisk funktion hur många nollställen som finns innanför kurvan, och i kursen kommer vi se många andra liknande oväntade kopplingar. Med vindningstalet som utgångspunkt kommer vi närma oss kraftfulla idéer och tekniker som dominerat matematiken de senaste femtio åren.

Under kursens gång börjar vi att prata om vindningstalet och hur man kan använda sig av det och dess kusiner för att studera topologi i planet. Längs med vägen kommer vi ge tydligare mening åt vad man studerar inom topologi. Vi går sakta över till högre dimensioner och pratar om kopplingar till analys och geometri genom Hopfs indexsats och Eulerkarakteristik av ytor. Slutligen går vi över till oändlig dimension, där dimensioner av lösningsrum till linjära problem i oändlig dimension (såsom partiella differentialekvationer) kan beskrivas av vindningstal.

Litteratur

Kursen följer boken Winding around : the winding number in topology, geometry, and analysis skriven av John Roe. Boken kan hittas elektroniskt på följande länk eller beställasi fysisk form på följande länk (för cirka $40). Vi kommer att gå igenom kapitel 1-8, för en mer detaljerad plan av kursen se nedan.

Förkunskaper

Kontinuerliga system (FMAN55 / FMA022F) och Funktionsteori (FMAF01), eller motsvarande, är nödvändiga. Det är en fördel, men strängt taget inte nödvändigt, att ha läst Algebraiska strukturer (MATM11 / FMAN10 / FMAN10F), Funktionalanalys och harmonisk analys (FMAN80 / FMAN80F) och Matematiska strukturer (FMAN65) eller motsvarande.

Examination

Examinationen består av veckovisa inlämningar och en munta på slutet av kursen. Veckovis behövs det lämnas in 2-4 uppgifter från ett urval ur boken.

Spring 2024

During the second half of the spring semester 2024, the course FMAN90 Advanced Course in a Selected Area of Mathematics, 7.5 Credits, will be given by Erik Andreas Martens (email erik.martens@math.lth.se).

The subject is Advanced Dynamical Systems --- Applications and Methods in Science/Engineering, including topics in Neuroscience. The course could be seen as a continuation of FMAN15 Nonlinear Dynamical Systems (though, not all parts are strictly required). (The course may complement FMAN01 Biomathematics, but this course is not a pre-requisite.)

Elements may include: foundations of dynamical systems (brief repetition), nonlinear oscillations / limit cycles, introduction to bifurcation theory, numerical continuation of fixed points and detection of bifurcations, regular perturbation methods (incl. averaging). Phase oscillator models, dimensional reduction methods. Elements of network theory. Basic dynamical models of neurons / intro to neuroscience.

The course will be based on selected chapters from a combination of sources, such as:

1. Lecture notes on Advanced Dynamical Systems Applications and Methods in Science and Engineering, P.G. Hjorth, E.A. Martens, M.P.Sørensen, U.H. Thygesen
2. Richard H. Rand, Lecture notes on Nonlinear Vibrations, https://hdl.handle.net/1813/28989
3. John H. Guckenheimer and P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-1140-2
4. Mathematical Neuroscience (book to be determined)

The precise literature list may be subject to few changes. Further details will follow.

The examination will most likely consist of a take home exam (OR a project, to be determined), followed by an oral exam.

(Contact your programme coordinator (programplanerare) if you want to take the course, and it is not listed in Studentportalen.)

Spring 2023

During the second half of the spring semester 2023, the course FMAN90 Advanced Course in a Selected Area of Mathematics, 7.5 Credits, will be given by Jacob Stordal Christiansen (email Jacob_Stordal.Christiansen@math.lth.se).

The subject is complex analysis, so the course could be seen as a continuation of FMAF01 Function Theory.

The course will be based on chapters 5—8 of the book

Murali Rao et al, Complex analysis. An invitation.

Second edition. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2015. x+414 pp. ISBN: 978-981-4579-59-9

More precisely:

Chapter 8. The Riemann Mapping Theorem
Chapter 7. Picard’s Theorem
Chapter 10. Infinite Products and Factorization Theorems
Chapter 9. Runge’s Theorem
Chapter 5. The Global Cauchy Theorem.

The examination will most likely consist of a take home exam followed by an oral exam.

(Contact your programme coordinator (programplanerare) if you want to take the course, and it is not listed in Studentportalen.)